Cytaty matematyków

Matematyka jest najpiękniejszym i najpotężniejszym tworem ducha ludzkiego.

Religia jest oparta przede wszystkim i głównie na strachu.

Sztuczna inteligencja nigdy nie będzie świadoma.

Trójkąt, którego wszystkie trzy boki mają różne długości, nazywa się trójkątem różnobocznym;
trójkąt mający dwa boki równe nazywa się trójkątem równoramiennym;
natomiast trójkąt, którego wszystkie boki są równe, nazywa się trójkątem równobocznym.

Trójkąt to figura utworzona z trzech prostych połączonych końcami. Te trzy proste nazywane są jego bokami.

Jeżeli powierzchnia jest taka, że ​​prosta łącząca dwa dowolne punkty leży całkowicie na powierzchni, nazywa się ją płaszczyzną. Płaszczyzna jest idealnie płaska i równa, jak powierzchnia stojącej wody lub gładkiej podłogi.

Powierzchnią nazywamy obiekt mający długość i szerokość. Powierzchnia to przestrzeń dwuwymiarowa. Nie ma grubości, bo gdyby ją miała, choćby najmniejszą, byłaby przestrzenią trójwymiarową.

Linia, która przebiega równo między swoimi skrajnymi punktami, nazywana jest linią prostą [...]

Przecięcia linii i ich końce są punktami.

Linia to długość bez szerokości. Gdyby miała jakąkolwiek szerokość, choćby najmniejszą, byłaby przestrzenią dwuwymiarową; a gdyby dodatkowo miała jakąkolwiek grubość, byłaby przestrzenią trójwymiarową; zatem linia nie ma ani szerokości, ani grubości.

Punkt to coś, co ma położenie, ale nie ma wymiarów. Wielkość geometryczna, która ma trzy wymiary, to znaczy długość, szerokość i grubość, jest bryłą; to, co ma dwa wymiary, takie jak długość i szerokość, jest powierzchnią; a to, co ma tylko jeden wymiar, jest linią. Ale punkt nie jest ani bryłą, ani powierzchnią, ani linią; stąd nie ma wymiarów – to znaczy nie ma ani długości, ani szerokości, ani grubości.

Odrzucam pogląd, iż coś jest albo realne albo nie. Mamy do czynienia z całą skalą realności, od największej do najmniejszej.

[...] w miarę jak dążymy ku fundamentom świata fizycznego, odnajdujemy jedność z pojęciami matematyki, nie tylko z tymi najprostszy­mi, lecz nawet z subtelnymi, wyrafinowanymi.

Sądzę, że istnieje pewnego rodzaju jedność świata fizycznego i platońskiego świata matematyki, który jest dla mnie czymś realnym, istniejącym obie­ktywnie...

Błędny jest pogląd, że trzeba dokonywać wyboru pomiędzy dowodem a intuicją. Dowody stanowią potwierdzenie uprzednich intuicji.

Wciąż zadziwia mnie niezwykła skuteczność stosowania pojęć matematycznych w fizyce, by użyć określenia Wignera z jego znanego eseju [Wigner 1991]. Niektórzy skłonni są uważać, że skuteczność ta ma charakter wyłącznie statystyczny, ale ja sądzę, iż chodzi tutaj o coś znacznie głębszego.

Z pewnością matematyka jest taką nieskończoną strukturą, której nigdy nie będziemy w stanie ogarnąć w pełni. To nie ulega wątpliwości.

Oczywiście, każdy popełnia błędy, ale matematycy nie popełniają błędów znowu tak wiele. Ponadto mamy procedury, aby się ostatecznie od błędów uwolnić. Dostrzegłszy błąd, matematyk potrafi się z nim uporać, podczas gdy w tak wielu innych dziedzinach życia nie osiąga się podobnego stopnia pewności i jakże do niego daleko. Zatem niepewność w matematyce, nawet jeśli od czasu do czasu popełniane są błędy, wydaje się nieznaczna w porównaniu z innymi dziedzinami życia.

Gdy pytamy „Co to jest stół?” — przedsta­wiamy sobie typowy przykład obiektu fizycznego. Jednak gdy chodzi nam o opis najlepszy z naukowego punktu widzenia, musimy odwołać się do atomów — i wtedy pojawia się problem, jak opisać atomy. Opis matematyczny staje się coraz bardziej wyrafinowany. Obiekty fizyczne nie są już niezależnymi, odrębnymi bytami. Można je w pełni wyodrębnić dopiero w ramach opisu kwantowo-mechanicznego, jakże wyra­finowanego pod względem matematycznym.

Sądzę, że rzeczywistość fizyczna w pewien sposób wyłania się z rzeczywistości matematycznej.